В прозрачной коробке лежало пять фишек. Миша пересчитал их дважды.

На экране рядом светилось число 101.

— Сломался, — уверенно сказал он.

— Что именно? — спросил папа.

— Счётчик. Фишек пять, а он показывает сто один.

Они стояли у небольшого музейного стенда. Здесь разрешалось двигать предметы, нажимать кнопки и спорить с надписями. Под экраном была всего одна инструкция:

«Прежде чем чинить счётчик, выясните, как он считает».

Миша положил в коробку ещё одну фишку.

На экране появилось 110.

— Теперь он сломался ещё сильнее.

Папа улыбнулся и придвинул к себе несколько фишек.

— Давай сначала разберёмся, как считаем мы сами.

Что прячется внутри обычного числа

— Представь, что здесь девять фишек, — предложил папа. — Как запишем их количество?

— Девять.

— А если добавить ещё одну?

— Десять.

— Почему для девяти хватало одной цифры, а для десяти понадобились две?

Миша пожал плечами. Раньше ему не приходило в голову об этом задумываться.

Мы настолько привыкли к записи чисел, что почти не замечаем её устройства. Вот цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Всего десять знаков. Когда мы доходим до десяти предметов, отдельной новой цифры у нас нет.

Зато можно собрать десять единиц в одну группу — десяток.

Поэтому запись 10 означает: один десяток и ноль отдельных единиц.

Добавим ещё фишку — получим 11: один десяток и одну единицу. Соберём два десятка и оставим три фишки отдельно — получится 23.

Каждое место в записи числа выполняет свою работу. Справа находятся единицы, левее — десятки, ещё левее — сотни. Такое место называется разрядом.

— Получается, двойка в числе 23 — это две группы по десять? — уточнил Миша.

— Да. А тройка — три отдельных предмета.

Теперь привычное число выглядело как короткая записка о содержимом коробки.

Как считать если разрешены только ноль и единица

Папа убрал лишние фишки и оставил одну.

— А теперь условие нашего счётчика: он умеет пользоваться только цифрами 0 и 1.

— Одну фишку записать легко. А две?

— Соберём пару.

На столе оказались две фишки, придвинутые друг к другу.

— У нас одна пара и ни одной одиночной фишки. Значит, записываем 10.

Миша посмотрел на экран.

— Но это же десять.

— Десять — если мы считаем десятками. А здесь новое место слева отвечает за пары.

Чтобы записи не путались, рядом с числом указывают маленький индекс:

10₂

Двойка внизу сообщает: число записано в двоичной системе счисления. Здесь используются две цифры, а группы собираются по два. Запись 10₂ означает количество два.

Её удобно прочитать по цифрам: «один-ноль в двоичной системе».

Добавили третью фишку. Получилась одна пара и одна отдельная фишка:

11₂

Добавили четвёртую. Из двух одиночных фишек образовалась ещё одна пара. Теперь пар стало две.

Но цифры 2 у счётчика нет.

— Значит, снова объединяем? — догадался Миша.

Две пары превратились в одну группу из четырёх. Для неё понадобилось ещё одно место слева.

Получилась запись:

100₂

Одна четвёрка. Ноль оставшихся пар. Ноль отдельных фишек.

Счётчик действовал последовательно. Просто собирал группы гораздо раньше, чем привык Миша.

Куда в числе 101 спрятались пять фишек

Они вернулись к первоначальным пяти фишкам.

Четыре объединили в одну группу. Пятая осталась рядом.

Теперь нужно было записать, что получилось:

— Одна четвёрка, ни одной двойки и одна единица, — прочитал Миша. — Один, ноль, один…

Он повернулся к экрану.

101₂.

Так вот откуда взялась эта запись.

Левая единица обозначала четыре предмета. Средний ноль сообщал, что отдельных групп по два нет. Правая единица добавляла ещё один предмет.

101₂ = 4 + 0 + 1 = 5.

Фишек всё время было пять. Изменилась только запись их количества.

— А ноль нельзя убрать? Он же ничего не добавляет.

Папа закрыл среднюю цифру пальцем.

Осталось 11₂.

Но теперь в записи было только два места: для двоек и для единиц. Одна двойка плюс одна единица — это три.

Ноль оказался полезен: он сохранял место для отсутствующей группы. Примерно так же ноль в числе 205 показывает, что десятков нет, и не позволяет перепутать двести пять с двадцатью пятью.

Откуда берутся восьмёрки и шестнадцатки

Миша уже хотел проверить счётчик на большом числе, но остановился.

— А какие группы идут дальше?

Ответ получился из тех же фишек.

Две единицы образуют двойку. Две двойки — четвёрку. Две четвёрки — восьмёрку. Две восьмёрки — шестнадцать.

Поэтому в двоичной системе разряды справа налево отвечают за группы размером:

1, 2, 4, 8, 16, 32…

Каждый следующий размер в два раза больше предыдущего.

В привычной десятичной системе действует похожее правило, только группы укрупняются в десять раз:

1, 10, 100, 1000…

Это число — два или десять — называют основанием системы счисления.

Миша прочитал надпись на стенде ещё раз. Под крупным словом «Счётчик» обнаружилось небольшое пояснение:

«Один предметный мир. Разные способы записывать числа».

Теперь оно стало понятнее.

Система счисления — это способ записывать числа с помощью определённых знаков и правил. В позиционных системах, с которыми мы сейчас познакомились, значение цифры зависит от её места в записи.

Испытание тринадцатью фишками

Миша отсчитал тринадцать фишек и высыпал их в коробку.

На экране появилось:

1101₂

На этот раз он не стал объявлять счётчик сломанным.

— Попробую сам.

Сначала Миша собрал группу из восьми фишек. Осталось пять.

Из этих пяти собрал четвёрку. Осталась одна.

На двойку её не хватило. Значит, двоек будет ноль. Последняя фишка заняла место единиц.

Получилось:

одна восьмёрка, одна четвёрка, ноль двоек, одна единица.

Именно это и было написано на экране:

1101₂ = 8 + 4 + 1 = 13.

Тринадцать не появилось из неизвестной формулы. Столько фишек Миша взял в самом начале. А двоичная запись рассказала, как это количество раскладывается на группы.

Так можно переводить небольшие числа в двоичную систему: выбирать подходящие группы и отмечать единицей те, которые понадобились. А если двоичная запись уже дана, можно сделать обратное — сложить размеры групп, возле которых стоят единицы.

Почему в числах вдруг появляются буквы

У стенда была ещё одна кнопка. Миша нажал её.

Вместо 1101 появилась запись 15₈.

— Только не говори, что фишек стало пятнадцать.

Он сам быстро нашёл объяснение: маленькая восьмёрка указывала на другое правило счёта.

Теперь группы собирались по восемь. В тринадцати фишках помещалась одна восьмёрка, а ещё пять фишек оставались отдельно.

Поэтому:

15₈ = 8 + 5 = 13.

Следующее нажатие превратило запись в D₁₆.

— Вот теперь счётчик решил писать слова?

Для системы с основанием шестнадцать нужны шестнадцать разных цифр. Привычных знаков от 0 до 9 недостаточно. Поэтому для следующих значений договорились использовать буквы:

A — десять, B — одиннадцать, C — двенадцать, D — тринадцать, E — четырнадцать, F — пятнадцать.

Здесь буква D выполняла работу одной цифры. Все тринадцать фишек ещё помещались в один разряд: до полной группы из шестнадцати не хватало трёх.

Миша записал в блокнот:

13₁₀ = 1101₂ = 15₈ = D₁₆

Четыре записи. Одно количество.

Зачем всё это компьютеру и школьнику

— А компьютеры тоже собирают фишки? — спросил Миша.

Внутри компьютера, конечно, нет маленьких коробок с предметами. Зато электронным устройствам удобно различать два состояния сигнала. Их условно обозначают нулём и единицей. Поэтому двоичная запись так широко используется в вычислительной технике.

Один двоичный разряд называют битом. Последовательности битов позволяют представлять числа, а по дополнительным правилам кодирования — текст, изображения и другие данные.

Длинные цепочки нулей и единиц человеку читать неудобно. Поэтому рядом с двоичной системой в информатике встречаются восьмеричная и шестнадцатеричная: они позволяют записывать те же значения компактнее.

В школе понимание этих правил помогает решать задачи по информатике, в том числе при подготовке к ОГЭ и ЕГЭ. Например, сравнивать числа из разных систем.

Что больше: 101₂ или 7₈?

Теперь Миша уже не стал бы выбирать длинную запись. Он прочитал бы первую как пять, вторую — как семь и получил ответ.

А если бы его спросили, сколько единиц в двоичной записи тринадцати, он вспомнил бы 1101₂ и насчитал три. Вопрос был бы именно о цифрах записи, а не о количестве фишек.

На выходе Миша ещё раз посмотрел на музейный счётчик.

В коробке снова лежало пять фишек. На экране светилось 101₂.

— Работает, — сказал он.

И на этот раз мог объяснить почему.